Analysis Beispiele

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (3 y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 y$ .

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3 y}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{3 y}$ .

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{x}{y}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\ln (3 y)$ mit $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Schritt 3.2

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

Schritt 3.8.3

Stelle die Terme um.

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $15 y^{2} x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ mit $y$ .

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.2.2

Stelle die Faktoren in $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ um.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $y^{3}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bewege $y$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

Schritt 5.3.3.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $y \ln (3 y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' - 15 y^{3} x y'$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $x y'$ aus $x y'$ heraus.

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $x y'$ aus $- 15 y^{3} x y'$ heraus.

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $x y'$ aus $x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ heraus.

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ durch $x (1 - 15 y^{3})$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ durch $x (1 - 15 y^{3})$ .

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 5.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 15 y^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$