Analysis Beispiele

$x^{5} + 32 y^{3} = \ln (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{5} + 32 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 32 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [32 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [32 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 y^{3}$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} + 32 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} + 32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 x^{4} + 32 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 x^{4} + 32 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$5 x^{4} + 96 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$5 x^{4} + 96 y^{2} y' = \frac{y'}{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$(5 x^{4} + 96 y^{2} y') y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(5 x^{4} + 96 y^{2} y') y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} y + 96 y^{2} y' y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bewege $y$ .

$5 x^{4} y + 96 (y \cdot y^{2}) y' = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$5 x^{4} y + 96 (y^{1} y^{2}) y' = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} y + 96 y^{1 + 2} y' = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} y + 96 y^{3} y' = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.3

Bewege $y^{3}$ .

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} = y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} y + 96 y' y^{3} - y' = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $5 x^{4} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$96 y' y^{3} - y' = - 5 x^{4} y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $96 y' y^{3} - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $96 y' y^{3}$ heraus.

$y' (96 y^{3}) - y' = - 5 x^{4} y$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (96 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 5 x^{4} y$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (96 y^{3}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$ durch $96 y^{3} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (96 y^{3} - 1) = - 5 x^{4} y$ durch $96 y^{3} - 1$ .

$\frac{y' (96 y^{3} - 1)}{96 y^{3} - 1} = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $96 y^{3} - 1$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (96 y^{3} - 1)}{96 y^{3} - 1} = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{4} y}{96 y^{3} - 1}$