Analysis Beispiele

$e^{x - y} = \ln (x - y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x - y}) = \frac{d}{d x} (\ln (x - y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x - y} (1 - y')$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - y$ .

$\frac{1}{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x - y} (1 - y')$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x - y} (1 - y')$ um.

$(1 - y') \frac{1}{x - y}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $1 - y'$ mit $\frac{1}{x - y}$ .

$\frac{1 - y'}{x - y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x - y} (1 - y') = \frac{1 - y'}{x - y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x - y$ .

$e^{x - y} (1 - y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $e^{x - y} (1 - y') (x - y)$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Mutltipliziere $e^{x - y}$ mit $1$ .

$(e^{x - y} + e^{x - y} (- y')) (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.2

Multipliziere $(e^{x - y} - e^{x - y} y') (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x - y} (x - y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' (x - y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x - y} x + e^{x - y} (- y) - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x - e^{x - y} y' (- y) = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $- e^{x - y} y' (- y)$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + 1 e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $e^{x - y}$ mit $1$ .

$e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{x - y} x - e^{x - y} y - e^{x - y} y' x + e^{x - y} y' y$ um.

$x e^{x - y} - y e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3.2.2

Bewege $- y e^{x - y}$ .

$x e^{x - y} - y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.1.1.3.2.3

Bewege $x e^{x - y}$ .

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = \frac{1 - y'}{x - y} (x - y)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = 1 - y'$

Schritt 5.2.2.1.2

Stelle $1$ und $- y'$ um.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} = - y' + 1$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Addiere $y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + x e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $x e^{x - y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} - y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $y e^{x - y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x e^{x - y} + y' y e^{x - y} + y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x e^{x - y}$ heraus.

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y) e^{x - y} + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y e^{x - y}$ heraus.

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3.3

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x e^{x - y}) + y' (y e^{x - y})$ heraus.

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1 = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.3.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y}) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 1 x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ durch $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1) = 1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}$ durch $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

$\frac{y' (- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1)}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{- x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} - \frac{x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1} + \frac{y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- x e^{x - y} + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x e^{x - y}$ heraus.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) + y e^{x - y} + 1}$

Schritt 5.3.5.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $y e^{x - y}$ heraus.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y}) + 1}$

Schritt 5.3.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x e^{x - y}) - (- y e^{x - y})$ heraus.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) + 1}$

Schritt 5.3.5.3.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.3.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x e^{x - y} - y e^{x - y}) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Schritt 5.3.5.3.9

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.5.3.9.1

Schreibe $- (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ als $- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)$ um.

$y' = \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{- 1 (x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1)}$

Schritt 5.3.5.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x e^{x - y} + y e^{x - y}}{x e^{x - y} - y e^{x - y} - 1}$