Analysis Beispiele

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \ln (x y)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $\frac{x \cdot 6}{x y}$ und $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

Schritt 2.4.2.5

Kombiniere $\frac{6}{x y}$ und $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Schritt 2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

Schritt 2.4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

Schritt 3

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $\frac{6}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ durch $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

Schritt 5.4.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6 y}{x}$ in den Zähler.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 y$ heraus.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 5.4.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 5.4.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.4.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$