Analysis Beispiele

$y = \frac{2 u}{1 - 4 u}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d u} (y) = \frac{d}{d u} (\frac{2 u}{1 - 4 u})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $u$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 u}{1 - 4 u}$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$ .

$2 \frac{d}{d u} [\frac{u}{1 - 4 u}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = u$ und $g (u) = 1 - 4 u$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - 4 u) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $1 - 4 u$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [1 - 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 u$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (0 + \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d u} [- 4 u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u \frac{d}{d u} [- 4 u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Da $- 4$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 4 u$ nach $u$ gleich $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$2 \frac{1 - 4 u - u (- 4 \frac{d}{d u} [u])}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \frac{d}{d u} [u]}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u \cdot 1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - 4 u + 4 u}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.9.2

Addiere $- 4 u$ und $4 u$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.9.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(1 - 4 u)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - 4 u)}^{2}}$

Schritt 3.3.9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d u}$ .

$\frac{d y}{d u} = \frac{2}{{(- 4 u + 1)}^{2}}$