Analysis Beispiele

$4 = 3 x + 5 x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4) = \frac{d}{d x} (3 x + 5 x y^{2})$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 5 x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x y^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 + 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$3 + 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 + 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 + 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 + 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 + 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 + 5 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 + 5 (2 x y y') + 5 y^{2}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$3 + 10 x y y' + 5 y^{2}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = 5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$ um.

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y y' + 3 = - 5 y^{2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ durch $10 x y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ durch $10 x y$ .

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x y$ heraus.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$