Analysis Beispiele

$4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y = 2 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + \ln (y^{2}) + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (y^{2})] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (y^{2})]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$12 x^{2} + \frac{1}{y^{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{2}{y^{2}} (y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{y^{2}}$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2}{y^{2}} y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{y \cdot 2}{y^{2}}$ und $y'$ .

$12 x^{2} + \frac{y \cdot 2 y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$12 x^{2} + \frac{2 \cdot y y'}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

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Schritt 2.3.8.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y y'$ heraus.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y^{2}} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.8.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x^{2} + \frac{y (2 y')}{y \cdot y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $12 x^{2} + \frac{2 y'}{y} + 2 y' = 2$ mit $y$ .

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 x^{2} y + \frac{2 y'}{y} y + 2 y' y = 2 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$12 x^{2} y + 2 y' + 2 y' y = 2 y$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $12 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' + 2 y' y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' y$ heraus.

$2 y' \cdot 1 + 2 y' y = 2 y - 12 x^{2} y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' \cdot 1 + 2 y' y$ heraus.

$2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ durch $2 (1 + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (1 + y) = 2 y - 12 x^{2} y$ durch $2 (1 + y)$ .

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (1 + y)}{2 (1 + y)} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 + y)}{1 + y} = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y}{2 (1 + y)} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 12 x^{2} y}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{2 (- 6 x^{2} y)}{2 (1 + y)}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{1 + y} + \frac{- 6 x^{2} y}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{1 + y} - \frac{6 x^{2} y}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y - 6 x^{2} y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 1 - 6 x^{2} y}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $- 6 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})}{1 + y}$

Schritt 5.3.3.3.2.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 6 x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - 6 x^{2})}{1 + y}$