Analysis Beispiele

$\cot (x y) + x y = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cot (x y) + x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cot (x y) + x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x y)] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\cot (x y)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y) + x y' + y$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y + x y' + y$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ um.

$- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache $- x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + x y' + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Bewege $x y'$ .

$- x y' \csc^{2} (x y) + x y' - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.1.2

Stelle $- x y' \csc^{2} (x y)$ und $x y'$ um.

$x y' - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- x y'$ aus $x y'$ heraus.

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- x y'$ aus $- x y' \csc^{2} (x y)$ heraus.

$- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- x y'$ aus $- x y' \cdot - 1 - x y' \csc^{2} (x y)$ heraus.

$- x y' (- 1 + \csc^{2} (x y)) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.5

Ordne Terme um.

$- x y' (\csc^{2} (x y) - 1) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y) + y = 0$

Schritt 5.2.7

Stelle $- y \csc^{2} (x y)$ und $y$ um.

$- x y' \cot^{2} (x y) + y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Schritt 5.2.8

Schreibe $y$ als $1 y$ um.

$- x y' \cot^{2} (x y) + 1 y - y \csc^{2} (x y) = 0$

Schritt 5.2.9

Faktorisiere $- y$ aus $1 y$ heraus.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y \csc^{2} (x y) = 0$

Schritt 5.2.10

Faktorisiere $- y$ aus $- y \csc^{2} (x y)$ heraus.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1) - y (\csc^{2} (x y)) = 0$

Schritt 5.2.11

Faktorisiere $- y$ aus $- y (- 1) - y (\csc^{2} (x y))$ heraus.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (- 1 + \csc^{2} (x y)) = 0$

Schritt 5.2.12

Ordne Terme um.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y (\csc^{2} (x y) - 1) = 0$

Schritt 5.2.13

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- x y' \cot^{2} (x y) - y \cot^{2} (x y) = 0$

Schritt 5.3

Addiere $y \cot^{2} (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ durch $- x \cot^{2} (x y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \cot^{2} (x y) = y \cot^{2} (x y)$ durch $- x \cot^{2} (x y)$ .

$\frac{- x y' \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \cot^{2} (x y)}{x \cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot^{2} (x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cot^{2} (x y)}{\cot^{2} (x y)} = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cot^{2} (x y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cot^{2} (x y)}{- x \cot^{2} (x y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{- x}$

Schritt 5.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$