Analysis Beispiele

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{27}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y^{3}}{27}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ und $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $27$ .

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Schritt 3.2.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{9}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{4 y}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ um.

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$9, 4 y^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

Schritt 5.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 5.2.4

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 5.2.5

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 5.2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 5.2.7

Das kgV von $9, 4, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Schritt 5.2.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

Schritt 5.2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 \cdot 3$

Schritt 5.2.8.3

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$36$

Schritt 5.2.9

Die Teiler von $y^{2}$ sind $y \cdot y$ , was $y$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 5.2.10

Das kgV von $y^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y \cdot y$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2}$

Schritt 5.2.12

Das kgV von $9, 4 y^{2}, 1$ ist der numerische Teil $36$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$36 y^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ mit $36 y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ mit $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Bewege $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ in den Zähler.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.4.2

Faktorisiere $4 y^{2}$ aus $36 y^{2}$ heraus.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.2.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $36 y^{2}$ mit $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{4} y' - 81 y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $4 y^{4} y'$ heraus.

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 81 y'$ heraus.

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ heraus.

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $4 y^{4}$ als ${(2 y^{2})}^{2}$ um.

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 y^{2}$ und $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

Schritt 5.4.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ durch $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ durch $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2} + 9$ .

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Schritt 5.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Schritt 5.4.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Schritt 5.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y^{2} - 9$ .

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Schritt 5.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Schritt 5.4.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$