Analysis Beispiele

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (y^{2} - 3)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y^{2} - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{y^{2} - 3}$ und $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Addiere $2 y y'$ und $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

Schritt 3.7.5

Kombiniere $\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ und $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

Schritt 3.7.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ um.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 3$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $y^{2} - 3$ mit $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = y^{2} - 3$ durch $4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y y' = y^{2} - 3$ durch $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$