Analysis Beispiele

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.5

Wende die Produktregel auf $- y^{2}$ an.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.10

Wende die Produktregel auf $- y^{2}$ an.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

Schritt 2.2.1.12

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

Schritt 2.2.1.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.2.3

Da $x^{6}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x^{6}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.2.5

Da $- 3 x^{4}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{4} y^{2}$ nach $a$ gleich $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{2}$ und $g (a) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d a} [y]$ als $y'$ um.

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.6

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y^{4}$ nach $a$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{4}$ und $g (a) = y$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.9

Schreibe $\frac{d}{d a} [y]$ als $y'$ um.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- y^{6}$ nach $a$ gleich $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{6}$ und $g (a) = y$ .

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Schritt 2.11.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

Schritt 2.11.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Schritt 2.11.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

Schritt 2.13

Schreibe $\frac{d}{d a} [y]$ als $y'$ um.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

Schritt 2.14

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $3 a^{4} x^{2}$ nach $a$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 x^{2} (4 a^{3})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{2} a^{3}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Faktoren von $12 x^{2} a^{3}$ um.

$12 a^{3} x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d a}$ .

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$