Analysis Beispiele

$f (x) = \sin^{2} (\cos (2 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (\cos (2 x))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (\cos (2 x))$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\sin (\cos (2 x))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) (\cos (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $2 x$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $- \sin (u_{3})$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $2 x$ .

$2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x) \cdot 1$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x)$

Schritt 4.5.2

Stelle die Faktoren von $- 4 \sin (\cos (2 x)) \cos (\cos (2 x)) \sin (2 x)$ um.

$- 4 \cos (\cos (2 x)) \sin (\cos (2 x)) \sin (2 x)$