Analysis Beispiele

$- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2.9

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $y'$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Schritt 2.3.10

Bringe $y^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' = 3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y' = 3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Schritt 5.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ und $y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ durch $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 2}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.4.3.5

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$