Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{3}{\sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{3 h + 1 + 1}}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 3 h + 1 + 1}}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Schritt 1.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Schritt 1.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + 1 + lim_{h \to 0} 1}}$

Schritt 1.8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{1}{\sqrt{3 lim_{h \to 0} h + 1 + 1}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 0 + 1 + 1}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$

Schritt 3.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 1}}$

Schritt 3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$2.12132034 \dots$