Analysis Beispiele

x^{3} - y^{3} = 7

$x^{3} - y^{3} = 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x^{3} - y^{3}

$x^{3} - y^{3}$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 3

$n = 3$ .

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne

\frac{d}{d x} [- y^{3}]

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

$- 1$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$- y^{3}$ nach

$x$ gleich

$- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = x^{3}$ und

$g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u$ durch

$y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich

$n u^{n - 1}$ ist mit

$n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle

$u$ durch

$y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe

$\frac{d}{d x} [y]$ als

$y'$ um.

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 3

$7$ konstant bezüglich

$x$ ist, ist die Ableitung von

$7$ bezüglich

$x$ gleich

$0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach

$y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere

$3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ durch

$- 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ durch

$- 3 y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere

$y'$ durch

$1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$- 3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze

$y'$ durch

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$