Analysis Beispiele

$48 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 625 x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (625 x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$48 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$48 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$96 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$96 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 2.6.2

Stelle die Faktoren von $(96 x^{2} + 96 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $625$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $625 x y^{2}$ nach $x$ gleich $625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$625 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$625 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$625 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$625 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$625 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$625 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$625 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$625 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$625 (2 x y y') + 625 y^{2}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $625$ .

$1250 x y y' + 625 y^{2}$

Schritt 3.8.3

Stelle die Terme um.

$625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (96 x^{2} + 96 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (96 x^{2}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 96 x \cdot x^{2} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 96 (x^{2} x^{1}) + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 96 x^{2 + 1} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 96 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $96$ .

$192 x^{3} + 2 x (96 y^{2}) + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{3} + 2 \cdot 96 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $96$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.6

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y y' (96 y^{2}) = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 96 = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.1.4.8

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' = 625 y^{2} + 1250 x y y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1250 x y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 x^{3} + 192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $192 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 x y^{2} + 192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $192 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y y' x^{2} + 192 y^{3} y' - 1250 x y y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y y' x^{2}$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 192 y^{3} y' - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2 y y'$ aus $192 y^{3} y'$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) - 1250 x y y' = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2 y y'$ aus $- 1250 x y y'$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (96 x^{2}) + 2 y y' (96 y^{2})$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2 y y'$ aus $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2}) + 2 y y' (- 625 x)$ heraus.

$2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ durch $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) = 625 y^{2} - 192 x^{3} - 192 x y^{2}$ durch $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ .

$\frac{2 y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{625 y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (625 y)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y (625 y)}{y (2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x^{3}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 192$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 192 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x^{3})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 192 x y^{2}}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 192$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 192 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{2 (- 96 x y^{2})}{2 (y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y^{2}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 5.5.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 96 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (- 96 x y)}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{- 96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Schritt 5.5.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$

Schritt 5.5.3.2

Um $- \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{96 x y}{96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2}$

Schritt 5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} - \frac{96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{625 y - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y - 96 x y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 5.5.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $625 y$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 - 96 x y \cdot 2}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 96 x y \cdot 2$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 625 + y (- 96 x \cdot 2)$ heraus.

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 96 x \cdot 2)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 96$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.6

Um $- \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.7

Um $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.5.3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.8.1

Mutltipliziere $\frac{96 x^{3}}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 5.5.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{y (625 - 192 x)}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Schritt 5.5.3.8.3

Stelle die Faktoren von $y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y}$

Schritt 5.5.3.8.4

Stelle die Faktoren von $2 (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x) y$ um.

$y' = - \frac{96 x^{3} \cdot 2}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)} + \frac{y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 96 x^{3} \cdot 2 + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 96$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y (625 - 192 x) y}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.10.2.1

Bewege $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y \cdot y (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} (625 - 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + y^{2} \cdot 625 + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10.4

Bringe $625$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 \cdot y^{2} + y^{2} (- 192 x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.10.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{- 192 x^{3} + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.5.3.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 192 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3}) + 625 y^{2} - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.2

Faktorisiere $- 1$ aus $625 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (192 x^{3}) - (- 625 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 192 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (192 x^{3} - 625 y^{2}) - (192 y^{2} x)$ heraus.

$y' = \frac{- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.11.6.1

Schreibe $- (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ als $- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)$ um.

$y' = \frac{- 1 (192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x)}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 5.5.3.11.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{192 x^{3} - 625 y^{2} + 192 y^{2} x}{2 y (96 x^{2} + 96 y^{2} - 625 x)}$