Analysis Beispiele

$6 + 3 x = \sin (x y^{4})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (6 + 3 x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y^{4}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x y^{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x y^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x y^{4}$ .

$\cos (x y^{4}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{4}$ .

$\cos (x y^{4}) (x \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (x y^{4}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\cos (x y^{4}) (x (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (x y^{4}) (x (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\cos (x y^{4}) (4 \cdot x y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \cdot 1)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4})$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y') + \cos (x y^{4}) y^{4}$

Schritt 3.8.2

Stelle die Terme um.

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 = 4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$ um.

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$ um.

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y^{4} \cos (x y^{4})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ durch $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ durch $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ .

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x y^{4})$ .

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Schritt 5.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.2.4.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \cdot \frac{1}{\cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x y^{4})}$ nach $\sec (x y^{4})$ um.

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \sec (x y^{4}) + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kombiniere $\frac{3}{4 y^{3} x}$ und $\sec (x y^{4})$ .

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{4}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 5.4.3.1.4.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- y^{4} \cos (x y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.4.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ heraus.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

Schritt 5.4.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x y^{4})$ .

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Schritt 5.4.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

Schritt 5.4.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y}{4 x}$

Schritt 5.4.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$