Analysis Beispiele

$3 x + \ln (y) = x^{2} y^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{5})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + \ln (y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 + \frac{1}{y} y'$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$3 + \frac{y'}{y}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} + 3$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{5}] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y]) + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 \cdot x^{2} y^{4} \frac{d}{d x} [y] + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + y^{5} (2 x)$

Schritt 3.6

Stelle um.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{5}$ .

$5 x^{2} y^{4} y' + 2 \cdot y^{5} x$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{y'}{y} + 3 = 5 y^{4} x^{2} y' + 2 y^{5} x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 y^{4} x^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y'}{y} + 3 - 5 y^{4} x^{2} y' = 2 y^{5} x$ mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' + 3 y - 5 y^{4} x^{2} y' y = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere $y^{4}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$y' + 3 y - 5 (y \cdot y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' + 3 y - 5 (y^{1} y^{4}) x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' + 3 y - 5 y^{1 + 4} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{5} x y$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Multipliziere $y^{5}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.1.1

Bewege $y$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y \cdot y^{5}) x$

Schritt 5.3.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{5}$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 (y^{1} y^{5}) x$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{1 + 5} x$

Schritt 5.3.3.1.3

Addiere $1$ und $5$ .

$y' + 3 y - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' - 5 y^{5} x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' \cdot 1 - 5 y^{5} x^{2} y' = 2 y^{6} x - 3 y$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y^{5} x^{2} y'$ heraus.

$y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cdot 1 + y' (- 5 y^{5} x^{2})$ heraus.

$y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ durch $1 - 5 y^{5} x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (1 - 5 y^{5} x^{2}) = 2 y^{6} x - 3 y$ durch $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 5 y^{5} x^{2}$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (1 - 5 y^{5} x^{2})}{1 - 5 y^{5} x^{2}} = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 y^{6} x}{1 - 5 y^{5} x^{2}} + \frac{- 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 y^{6} x - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{6} x - 3 y$ heraus.

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Schritt 5.4.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{6} x$ heraus.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) - 3 y}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 5.4.3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 y^{5} x) + y \cdot - 3$ heraus.

$y' = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{5} x - 3)}{1 - 5 y^{5} x^{2}}$