Analysis Beispiele

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x) \cos (y)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ um.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 \cos (x) \cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ durch $- 3 \sin (x) \sin (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ durch $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Schritt 5.3.3.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 5.3.3.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Schritt 5.3.3.4

Wandle von $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ nach $\cot (y)$ um.

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$