Analysis Beispiele

$2 x^{3} = 3 y^{2} - 5 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (3 y^{2} - 5 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{2} - 5 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y y' - 5 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 x^{2} = 6 y y' - 5 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $6 y y' - 5 y' = 6 x^{2}$ um.

$6 y y' - 5 y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $6 y y' - 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $6 y y'$ heraus.

$y' (6 y) - 5 y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y'$ heraus.

$y' (6 y) + y' \cdot - 5 = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (6 y) + y' \cdot - 5$ heraus.

$y' (6 y - 5) = 6 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 y - 5) = 6 x^{2}$ durch $6 y - 5$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (6 y - 5) = 6 x^{2}$ durch $6 y - 5$ .

$\frac{y' (6 y - 5)}{6 y - 5} = \frac{6 x^{2}}{6 y - 5}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 y - 5$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (6 y - 5)}{6 y - 5} = \frac{6 x^{2}}{6 y - 5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 y - 5}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{6 y - 5}$