Analysis Beispiele

$2 x^{2} y - \frac{3}{y} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} y - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} y - \frac{3}{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{y}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $y'$ von $0$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $3$ und $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x^{2} y' + 4 y x + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 1, y^{2}, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $2 x^{2} y' + 4 x y + \frac{3 y'}{y^{2}} = 0$ mit $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y \cdot y^{2} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Bewege $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x (y^{2} y^{1}) + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{2 + 1} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + \frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0 y^{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $y^{2}$ .

$2 x^{2} y' y^{2} + 4 x y^{3} + 3 y' = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4 x y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y' y^{2} + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{2} y' y^{2} + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{2} y' y^{2}$ heraus.

$y' (2 x^{2} y^{2}) + 3 y' = - 4 x y^{3}$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y'$ heraus.

$y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3 = - 4 x y^{3}$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x^{2} y^{2}) + y' \cdot 3$ heraus.

$y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ durch $2 x^{2} y^{2} + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x^{2} y^{2} + 3) = - 4 x y^{3}$ durch $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} y^{2} + 3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{2} y^{2} + 3)}{2 x^{2} y^{2} + 3} = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x y^{3}}{2 x^{2} y^{2} + 3}$