Analysis Beispiele

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.8.3.1.1

Subtrahiere $y y'$ von $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.1.2

Addiere $- x y'$ und $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.8.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x y'$ heraus.

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y') - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.8

Schreibe $- (x y' - y)$ als $- 1 (x y' - y)$ um.

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 2.8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.1.2.2

Dividiere $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 x)$ als $- (2 x)$ um.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten mit ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Stelle $x$ und $y'$ um.

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Forme um.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Schreibe ${(- x + y)}^{2}$ als $(- x + y) (- x + y)$ um.

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

Schritt 5.4.1.3

Multipliziere $(- x + y) (- x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

Schritt 5.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

Schritt 5.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

Schritt 5.4.1.4.1.6

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Schritt 5.4.1.4.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 5.4.1.4.2.1

Bewege $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

Schritt 5.4.1.4.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Schritt 5.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.4.1.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.1.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Schritt 5.4.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ durch $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.1.2.5

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} y$ heraus.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.2.2.5

Dividiere $4 x y$ durch $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 5.4.3.3.1.3.2

Dividiere $- 2 y^{2}$ durch $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$