Analysis Beispiele

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 5 y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

Schritt 5.3.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

Schritt 5.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

Schritt 5.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

Schritt 5.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 1$ .

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

Schritt 5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ durch $(y - 1) (3 y + 5)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ durch $(y - 1) (3 y + 5)$ .

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 5$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$