Analysis Beispiele

$x^{3} - y = \ln (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - y' = \frac{y'}{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$(3 x^{2} - y') y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} y - y' y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} y - y' y = y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y - y' y - y' = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' y - y' = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y$ heraus.

$y' (- 1 y) - y' = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 1 y) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 1 y - 1) = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ durch $- y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y - 1) = - 3 x^{2} y$ durch $- y - 1$ .

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y - 1$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- y - 1)}{- y - 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{- y - 1}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- y - 1}$

Schritt 5.3.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1}$

Schritt 5.3.5.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y) - 1 (1)}$

Schritt 5.3.5.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- (y + 1)}$

Schritt 5.3.5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.3.5.1

Schreibe $- (y + 1)$ als $- 1 (y + 1)$ um.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{- 1 (y + 1)}$

Schritt 5.3.5.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Schritt 5.3.5.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Schritt 5.3.5.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2} y}{y + 1}$ mit $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y}{y + 1}$