Analysis Beispiele

$x^{3} = \ln (x y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.6.2.2

Kombiniere $\frac{x}{x y}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Schritt 3.6.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x y}$ und $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 3.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Schritt 3.6.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} = \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$ um.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y'}{y} = 3 x^{2} - \frac{1}{x}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} y = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = (3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $(3 x^{2} - \frac{1}{x}) y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = 3 x^{2} y - \frac{1}{x} y$

Schritt 5.4.2.1.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$y' = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} y - \frac{y}{x}$