Analysis Beispiele

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 3$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 + 2 y y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Stelle um.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Bewege $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

Schritt 5.2.2.1.3

Bewege $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $- 1 y'$ als $- y'$ um.

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 y' y^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' x$ heraus.

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y'$ heraus.

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' y^{3}$ heraus.

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ heraus.

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ heraus.

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

Schritt 5.3.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ durch $- x - 3 - 2 y^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ durch $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

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Schritt 5.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $4 y^{2} - y$ heraus.

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Schritt 5.3.6.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (4 y) + y \cdot - 1$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (3)$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

Schritt 5.3.6.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

Schritt 5.3.6.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x + 3) - (2 y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

Schritt 5.3.6.3.8

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.6.3.8.1

Schreibe $- (x + 3 + 2 y^{3})$ als $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ um.

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

Schritt 5.3.6.3.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$