Analysis Beispiele

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x y^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Addiere $3 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $6 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $- 6 x y y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ heraus.

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ heraus.

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.5.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 5.5.2

Schreibe das Polynom neu.

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ durch $3 {(x - y)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ durch $3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - y)}^{2}$ .

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Schritt 5.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 5.6.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x y$ heraus.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - y)}^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

Schritt 5.6.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 5.6.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$