Analysis Beispiele

$x^{2} {(x - y)}^{2} = x^{2 - y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} {(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2 - y^{2}})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((x - y) (x - y))]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x (x - y) - y (x - y))]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))]$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - y (- y))]$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)]$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))]$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})]$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - y x + y^{2})]$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})]$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + y^{2}] + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$x^{2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.9.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.10

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + (x^{2} - 2 x y + y^{2}) (2 x)$

Schritt 2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$x^{2} (2 x - 2 (x y' + y) + 2 y y') + 2 \cdot (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (2 x - 2 (x y') - 2 y + 2 y y') + 2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Schritt 2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x$

Schritt 2.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + (2 x^{2} + 2 (- 2 x y) + 2 y^{2}) x$

Schritt 2.13.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (2 x) + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.13.5.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.5.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.13.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot 2 + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} + x^{2} (- 2 (x y')) + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.13.5.3.1

Bewege $x$ .

$2 x^{3} + x \cdot x^{2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.13.5.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + x^{1} x^{2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} + x^{1 + 2} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + x^{2} (2 y y') + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 \cdot x^{2} y y' + 2 x^{2} x + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.7

Addiere $1$ und $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} + 2 (- 2 x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x y) x + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x^{1} x) y + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) y + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 x^{1 + 1} y + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.12

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.13

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') + x^{2} (- 2 y) + 2 x^{2} y y' - 4 x^{2} y + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.14

Subtrahiere $4 x^{2} y$ von $x^{2} (- 2 y)$ .

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Schritt 2.13.5.14.1

Stelle $x^{2}$ und $- 2$ um.

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') - 2 \cdot x^{2} y - 4 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.5.14.2

Subtrahiere $4 x^{2} y$ von $- 2 \cdot x^{2} y$ .

$4 x^{3} + x^{3} (- 2 y') - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 2.13.6

Stelle die Terme um.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = 2 - y^{2}$ ist.

$\frac{d}{d x} [x] ((2 - y^{2}) x^{2 - y^{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 - y^{2}] (x^{2 - y^{2}} \ln (x))$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{d}{d x} [x] ((2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [2 - y^{2}] (x^{2 - y^{2}} \ln (x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 ((2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1}) + \frac{d}{d x} [2 - y^{2}] (x^{2 - y^{2}} \ln (x))$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2 - y^{2}$ mit $1$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} + \frac{d}{d x} [2 - y^{2}] (x^{2 - y^{2}} \ln (x))$

Schritt 3.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} + (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) (x^{2 - y^{2}} \ln (x))$

Schritt 3.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} + (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.2.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - \frac{d}{d x} [y^{2}] x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - (2 u \frac{d}{d x} [y]) x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - (2 y \frac{d}{d x} [y]) x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - 2 (y \frac{d}{d x} [y]) x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(2 - y^{2}) x^{- y^{2} + 1} - 2 y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x)$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$x^{- y^{2} + 1} (2 - y^{2}) - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = x^{- y^{2} + 1} (2 - y^{2}) - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $x^{- y^{2} + 1} (2 - y^{2}) - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = x^{- y^{2} + 1} \cdot 2 + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2}) - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$

Schritt 5.1.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- y^{2} + 1}$ .

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 2 \cdot x^{- y^{2} + 1} + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2}) - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$

Schritt 5.1.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 2 \cdot x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - 2 x^{2 - y^{2}} y \ln (x) y'$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} + x^{2 - y^{2}} y (- \ln (x^{2})) y'$

Schritt 5.1.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - x^{2 - y^{2}} y \ln (x^{2}) y'$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - x^{2 - y^{2}} y \ln (x^{2}) y'$ um.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$

Schritt 5.2

Addiere $y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} - 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} y' - 6 x^{2} y + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3}$

Schritt 5.3.2

Addiere $6 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{3} y' + 2 x^{2} y y' + y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x^{3} y'$ heraus.

$y' (- 2 x^{3}) + 2 x^{2} y y' + y (y') x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x^{2} y y'$ heraus.

$y' (- 2 x^{3}) + y' (2 x^{2} y) + y (y') x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y y' x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ heraus.

$y' (- 2 x^{3}) + y' (2 x^{2} y) + y' (y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 x^{3}) + y' (2 x^{2} y)$ heraus.

$y' (- 2 x^{3} + 2 x^{2} y) + y' (y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 x^{3} + 2 x^{2} y) + y' (y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))$ heraus.

$y' (- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})) = 2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$ durch $- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

$\frac{y' (- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} = \frac{2 x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Faktorisiere $x^{- y^{2} + 1}$ aus $2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{- y^{2} + 1}$ aus $2 x^{- y^{2} + 1}$ heraus.

$y' = \frac{x^{- y^{2} + 1} \cdot 2 - y^{2} x^{- y^{2} + 1}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Faktorisiere $x^{- y^{2} + 1}$ aus $- y^{2} x^{- y^{2} + 1}$ heraus.

$y' = \frac{x^{- y^{2} + 1} \cdot 2 + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2})}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Faktorisiere $x^{- y^{2} + 1}$ aus $x^{- y^{2} + 1} \cdot 2 + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{x^{- y^{2} + 1} (2 - y^{2})}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{x^{- y^{2} + 1} (2 - y^{2}) - 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{x^{- y^{2} + 1} \cdot 2 + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2}) - 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- y^{2} + 1}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{- y^{2} + 1} + x^{- y^{2} + 1} (- y^{2}) - 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - 4 x^{3}}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} + \frac{6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})} - \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.3

Stelle die Faktoren in $2 x^{- y^{2} + 1} - x^{- y^{2} + 1} y^{2} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x$ um.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- 2 x^{3} + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- (2 x^{3}) + 2 x^{2} y + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- (2 x^{3}) - (- 2 x^{2} y) + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- (2 x^{3} - 2 x^{2} y) + y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- (2 x^{3} - 2 x^{2} y) - (- y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.5.3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{3} - 2 x^{2} y) - (- y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))$ heraus.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- (2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.5.3.3.9

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.5.3.3.9.1

Schreibe $- (2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))$ als $- 1 (2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))$ um.

$y' = \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{- 1 (2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2}))}$

Schritt 5.5.3.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{- y^{2} + 1} - y^{2} x^{- y^{2} + 1} - 4 x^{3} + 6 x^{2} y - 2 y^{2} x}{2 x^{3} - 2 x^{2} y - y x^{2 - y^{2}} \ln (x^{2})}$