Analysis Beispiele

$\sqrt{x} = 3 \sqrt{y}$

Schritt 1

Rewrite the equation with rational exponents.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} = 3 \sqrt{y}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{\frac{1}{2}} = 3 y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (3 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.9

Bringe $y^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Schritt 4.12

Kombiniere $\frac{3}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ und $y'$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ um.

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y' = 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ durch $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.4.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Schritt 6.4.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.3.3.1

Mutltipliziere $y^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Schritt 6.4.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}}}$