Analysis Beispiele

$x^{2} - y^{3} = 5 x^{2} y - 2 x y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} y - 2 x y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x - 3 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$- 3 y^{2} y' + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} y - 2 x y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} y$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 3.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 (y x) - 2 (3 x y^{2} y') - 2 y^{3}$

Schritt 3.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x - 6 x y^{2} y' - 2 y^{3}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} y' + 2 x = - 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' = - 3 y^{2} y' + 2 x$

Schritt 5.2

Addiere $3 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{3} + 5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $2 y^{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} y' + 10 x y - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $10 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $5 x^{2} y' - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $5 x^{2} y'$ heraus.

$y' (5 x^{2}) - 6 y^{2} x y' + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 y^{2} x y'$ heraus.

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + 3 y^{2} y' = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{2}) + y' (- 6 y^{2} x)$ heraus.

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x) + y' (3 y^{2})$ heraus.

$y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ durch $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}) = 2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ durch $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2})}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{- 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{2 x}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} + \frac{2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3}}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}} - \frac{10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{2 x + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 y^{3} - 10 x y$ heraus.

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Schritt 5.5.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (x) + 2 y^{3} - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) - 10 x y}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 (x) + 2 (y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (y^{3})$ heraus.

$y' = \frac{2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 5.5.3.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + y^{3}) + 2 (- 5 x y)$ heraus.

$y' = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + y^{3} - 5 x y)}{5 x^{2} - 6 y^{2} x + 3 y^{2}}$