Analysis Beispiele

$e^{y} = x^{3} \ln (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{y} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Schritt 3.3.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ durch $e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} y' = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ durch $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} y'}{e^{y}} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{3 x^{2} \ln (x)}{e^{y}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y' = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{e^{y}} + \frac{x^{2} \ln (x^{3})}{e^{y}}$