Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x y} = 14 x + y$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x y)}^{\frac{1}{3}} = 14 x + y$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (14 x + y)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(x y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(x y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.6.3

Bringe ${(x y)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{3 {(x y)}^{\frac{2}{3}}} (x y' + y)$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} (x y' + y)$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} (x y') + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.11.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}} y' + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.2

Kombiniere $\frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ und $y'$ .

$\frac{x y'}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.3

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x y' x^{- \frac{2}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.3.4.1

Bewege $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}} x y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{2}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.11.3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{1} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{- \frac{2}{3} + 1} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{- 2 + 3}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.4.5

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}})} y$

Schritt 3.11.3.5

Kombiniere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$ und $y$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y}{3 x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.6

Bringe $y^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.7

Multipliziere $y$ mit $y^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.3.7.1

Mutltipliziere $y$ mit $y^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.11.3.7.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{1 - \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.7.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{3 - 2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.11.3.7.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$14 + y'$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 14 + y'$

Schritt 6

Löse nach $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ auf.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{\frac{1}{3}} y'}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y'$ um.

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$

Schritt 6.2.2

Since $3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ .

Schritt 6.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.2.4

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 6.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.2.6

Das kgV von $3, 3, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$3$

Schritt 6.2.7

Das kgV von $y^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.2.8

Das kgV von $3 y^{\frac{2}{3}}, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1, 1, 1$ ist der numerische Teil $3$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$ mit $3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 14 - y' = 0$ mit $3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{3 y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.3.1

Faktorisiere $y^{\frac{2}{3}}$ aus $y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{y' x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y' x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.4.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y' (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4.4

Addiere $2$ und $1$ .

$y' x^{\frac{3}{3}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y' x^{1} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5

Vereinfache $y' x^{1}$ .

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' x + 3 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.8.1

Faktorisiere $x^{\frac{2}{3}}$ aus $y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}}) - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$y' x + y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.9

Multipliziere $y^{\frac{1}{3}}$ mit $y^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.9.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' x + y^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' x + y^{\frac{1 + 2}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y' x + y^{\frac{3}{3}} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.9.4

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y' x + y^{1} - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.10

Vereinfache $y^{1}$ .

$y' x + y - 14 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$y' x + y - 42 (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - y' (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere $0 (3 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $y^{\frac{2}{3}}$ mit $0$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y' x + y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.4.2

Ersetze $y' y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ durch $u$ .

${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.4.3.1

Vereinfache ${(y' x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u$ .

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Schritt 6.4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.3.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y' x^{\frac{2 + 2}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

${(y' x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $y' x^{\frac{4}{3}}$ an.

${y'}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

${y'}^{\frac{3}{4}} x^{1} {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.5

Vereinfache.

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{2 + 2}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.7

Addiere $2$ und $2$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x {(y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.3.1.1.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y^{1} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.1.9

Vereinfache.

${y'}^{\frac{3}{4}} x y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.1.2

Stelle die Faktoren in ${y'}^{\frac{3}{4}} x y - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u$ um.

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} - 42 y^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.4.3.3

Ersetze $x y {y'}^{\frac{3}{4}}$ durch $u$ .

$(u) - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.4.3.4.1

Vereinfache $u - 42 {(y x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}} - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.3.4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $y x^{\frac{3}{4}}$ an.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} {(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{16}{9}}$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{9}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3 (3)}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3 \cdot 3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{16}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 (4)}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u - 42 (y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}) - 3 {(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.3.4.1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u^{1} = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.1.4

Vereinfache.

$u - 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 3 u = 0$

Schritt 6.4.3.4.1.2

Subtrahiere $3 u$ von $u$ .

$- 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}} - 2 u = 0$

Schritt 6.4.3.4.2

Addiere $42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.4.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 u = 42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Schritt 6.4.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 6.4.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Schritt 6.4.3.4.3.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 2}$

Schritt 6.4.3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.4.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $42 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$ heraus.

$u = \frac{2 (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})}{- 2}$

Schritt 6.4.3.4.3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.3.4.3.3.2.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}}{- 1}$ .

$u = - 1 \cdot (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.3.4.3.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$ als $- (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$ um.

$u = - (21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.4.3.4.3.3.2.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 1$ .

$u = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 6.4.3.5

Ersetze $u$ durch $u$ .

$x y {y'}^{\frac{3}{4}} = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 21 y^{\frac{16}{9}} x^{\frac{4}{3}}$