Analysis Beispiele

$\frac{x}{y} = \frac{1}{9}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{9}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$- x y' + y = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' = - y$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = - y$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' = - y$ durch $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y}{- x}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$