Analysis Beispiele

$\cos^{2} (y) = y - 2 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (y)) = \frac{d}{d x} (y - 2 x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (y)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (y)$ .

$2 \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 \cos (y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 \cos (y) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cos (y) (\sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 \cos (y) \sin (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - 2 (2 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y' - 4 x$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 4 x + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 \cos (y) \sin (y) y' = - 4 x + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- 2 \cos (y) \sin (y) y'$ um.

$- 2 y' \cos (y) \sin (y) = - 4 x + y'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y' \cos (y) \sin (y) - y' = - 4 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' \cos (y) \sin (y) - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y' \cos (y) \sin (y)$ heraus.

$y' (- 2 \cos (y) \sin (y)) - y' = - 4 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 2 \cos (y) \sin (y)) + y' \cdot - 1 = - 4 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 2 \cos (y) \sin (y)) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 2 \cos (y) \sin (y) - 1) = - 4 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 \cos (y) \sin (y) - 1) = - 4 x$ durch $- 2 \cos (y) \sin (y) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 2 \cos (y) \sin (y) - 1) = - 4 x$ durch $- 2 \cos (y) \sin (y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 \cos (y) \sin (y) - 1)}{- 2 \cos (y) \sin (y) - 1} = \frac{- 4 x}{- 2 \cos (y) \sin (y) - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 \cos (y) \sin (y) - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 2 \cos (y) \sin (y) - 1)}{- 2 \cos (y) \sin (y) - 1} = \frac{- 4 x}{- 2 \cos (y) \sin (y) - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{- 2 \cos (y) \sin (y) - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cos (y) \sin (y) - 1$ heraus.

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cos (y) \sin (y)$ heraus.

$y' = \frac{- 4 x}{- (2 \cos (y) \sin (y)) - 1}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 4 x}{- (2 \cos (y) \sin (y)) - 1 (1)}$

Schritt 5.4.3.1.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \cos (y) \sin (y)) - 1 (1)$ heraus.

$y' = \frac{- 4 x}{- (2 \cos (y) \sin (y) + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Stelle $2 \cos (y)$ und $\sin (y)$ um.

$y' = \frac{- 4 x}{- (\sin (y) (2 \cos (y)) + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Stelle $\sin (y)$ und $2$ um.

$y' = \frac{- 4 x}{- (2 \cdot \sin (y) \cos (y) + 1)}$

Schritt 5.4.3.1.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$y' = \frac{- 4 x}{- (\sin (2 y) + 1)}$

Schritt 5.4.3.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{4 x}{\sin (2 y) + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x}{\sin (2 y) + 1}$