Analysis Beispiele

$7^{x + y} = y^{\ln (7)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (7^{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{\ln (7)})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 7^{x}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$7^{x + y} \ln (7) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$7^{x + y} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7^{x + y} \ln (7) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $7^{x + y} \ln (7) (1 + y')$ um.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\ln (7)}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\ln (7)}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \ln (7)$ .

$\ln (7) u^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $\ln (7) y^{\ln (7) - 1} y'$ um.

$y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $7^{x + y} (1 + y') \ln (7)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$7^{x + y} (1 + y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(7^{x + y} \cdot 1 + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $7^{x + y}$ mit $1$ .

$(7^{x + y} + 7^{x + y} y') \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7) = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.1.6

Stelle die Faktoren in $7^{x + y} \ln (7) + 7^{x + y} y' \ln (7)$ um.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $y^{\ln (7) - 1} \ln (7) y'$ um.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} = \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $\ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $\ln (7) \cdot 7^{x + y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1} = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y' \ln (7)$ aus $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} - \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y' \ln (7)$ aus $- \ln (7) y' y^{\ln (7) - 1}$ heraus.

$y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y' \ln (7)$ aus $y' \ln (7) \cdot 7^{x + y} + y' \ln (7) (- 1 y^{\ln (7) - 1})$ heraus.

$y' \ln (7) (7^{x + y} - 1 y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 y^{\ln (7) - 1}$ als $- y^{\ln (7) - 1}$ um.

$y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ durch $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}) = - \ln (7) \cdot 7^{x + y}$ durch $\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})$ .

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\ln (7)) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}$ .

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Schritt 5.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}} = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 5.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- \ln (7) \cdot 7^{x + y}}{\ln (7) (7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1})}$

Schritt 5.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 1 \cdot 7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Schritt 5.7.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7^{x + y}}{7^{x + y} - y^{\ln (7) - 1}}$