Analysis Beispiele

$\frac{2 x + y}{x - 5 y} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x + y}{x - 5 y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + y$ und $g (x) = x - 5 y$ .

$\frac{(x - 5 y) \frac{d}{d x} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + \frac{d}{d x} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) \frac{d}{d x} [x - 5 y]}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- 5 y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 \frac{d}{d x} [y])}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') - (2 x + y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 5 y) (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.1

Multipliziere $(x - 5 y) (2 + y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (2 + y') - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y (2 + y') + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x y' - 5 y \cdot 2 - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- (2 x) - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' + (- 2 x - y) (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4

Multipliziere $(- 2 x - y) (1 - 5 y')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x (1 - 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y (1 - 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x - 2 x (- 5 y') - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y \cdot 1 - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y - y (- 5 y')}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + x y' - 10 y - 5 y y' - 2 x + 10 x y' - y + 5 y y'$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 0 + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere $x y' - 10 y - 5 y y'$ und $0$ .

$\frac{x y' - 10 y - 5 y y' + 10 x y' - y + 5 y y'}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.3

Addiere $- 5 y y'$ und $5 y y'$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y + 0}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2.4

Addiere $x y' - 10 y + 10 x y' - y$ und $0$ .

$\frac{x y' - 10 y + 10 x y' - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3

Addiere $x y'$ und $10 x y'$ .

$\frac{11 x y' - 10 y - y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.2.4

Subtrahiere $y$ von $- 10 y$ .

$\frac{11 x y' - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere $11$ aus $11 x y' - 11 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x y'$ heraus.

$\frac{11 (x y') - 11 y}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.2

Faktorisiere $11$ aus $- 11 y$ heraus.

$\frac{11 (x y') + 11 (- y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 2.8.3.3

Faktorisiere $11$ aus $11 (x y') + 11 (- y)$ heraus.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{11 (x y' - y)}{{(x - 5 y)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$11 (x y' - y) = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 (x y' - y) = 0$ durch $11$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $11 (x y' - y) = 0$ durch $11$ .

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 (x y' - y)}{11} = \frac{0}{11}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Dividiere $x y' - y$ durch $1$ .

$x y' - y = \frac{0}{11}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $11$ .

$x y' - y = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y' = y$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $x y' = y$ durch $x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x y' = y$ durch $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{x}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x}$