Analysis Beispiele

${(3 x y + 4)}^{2} = 18 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(3 x y + 4)}^{2}) = \frac{d}{d x} (18 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(3 x y + 4)}^{2}$ als $(3 x y + 4) (3 x y + 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 4) (3 x y + 4)]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(3 x y + 4) (3 x y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 4) + 4 (3 x y + 4)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y + 4)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 4 + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 12 x y + 4 (3 x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 12 x y + 12 (x y) + 4 \cdot 4]$

Schritt 2.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 12 x y + 12 x y + 16]$

Schritt 2.3.2

Addiere $12 x y$ und $12 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 24 x y + 16]$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} y^{2} + 24 x y + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.4.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.9

Differenziere.

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Schritt 2.9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.9.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [24 x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.9.3

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x y$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 2.14

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y) + 0$

Schritt 2.15

Addiere $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y)$ und $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 24 (x y' + y)$

Schritt 2.16

Vereinfache.

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Schritt 2.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 24 (x y' + y)$

Schritt 2.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 24 (x y') + 24 y$

Schritt 2.16.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.16.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 24 (x y') + 24 y$

Schritt 2.16.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 24 x y' + 24 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 y$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [y]$ .

$18 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$18 y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 24 x y' + 24 y = 18 y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $18 y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 24 x y' + 24 y - 18 y' = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $18 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y y' + 24 x y' + 24 y - 18 y' = - 18 y^{2} x$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $24 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} y y' + 24 x y' - 18 y' = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $6 y'$ aus $18 x^{2} y y' + 24 x y' - 18 y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $6 y'$ aus $18 x^{2} y y'$ heraus.

$6 y' (3 x^{2} y) + 24 x y' - 18 y' = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $6 y'$ aus $24 x y'$ heraus.

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (4 x) - 18 y' = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $6 y'$ aus $- 18 y'$ heraus.

$6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (4 x) + 6 y' \cdot - 3 = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y' (3 x^{2} y) + 6 y' (4 x)$ heraus.

$6 y' (3 x^{2} y + 4 x) + 6 y' \cdot - 3 = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $6 y'$ aus $6 y' (3 x^{2} y + 4 x) + 6 y' \cdot - 3$ heraus.

$6 y' (3 x^{2} y + 4 x - 3) = - 18 y^{2} x - 24 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $6 y' (3 x^{2} y + 4 x - 3) = - 18 y^{2} x - 24 y$ durch $6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y' (3 x^{2} y + 4 x - 3) = - 18 y^{2} x - 24 y$ durch $6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)$ .

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 4 x - 3)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y' (3 x^{2} y + 4 x - 3)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 4 x - 3)}{3 x^{2} y + 4 x - 3} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} y + 4 x - 3$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 x^{2} y + 4 x - 3)}{3 x^{2} y + 4 x - 3} = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 18 y^{2} x}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 18$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 18 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} + \frac{- 24 y}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $6$ .

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Schritt 5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 24 y$ heraus.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} + \frac{6 (- 4 y)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} + \frac{6 (- 4 y)}{6 (3 x^{2} y + 4 x - 3)}$

Schritt 5.4.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} + \frac{- 4 y}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 y^{2} x}{3 x^{2} y + 4 x - 3} - \frac{4 y}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 y^{2} x - 4 y}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2} x - 4 y$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{y (- 3 y x) - 4 y}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{y (- 3 y x) + y \cdot - 4}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 3 y x) + y \cdot - 4$ heraus.

$y' = \frac{y (- 3 y x - 4)}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 4)}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y' = \frac{y (- (3 y x) - 1 (4))}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y x) - 1 (4)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (3 y x + 4))}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.3.2.6.1

Schreibe $- (3 y x + 4)$ als $- 1 (3 y x + 4)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (3 y x + 4))}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 5.4.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (3 y x + 4)}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y x + 4)}{3 x^{2} y + 4 x - 3}$