Analysis Beispiele

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = \frac{25}{4} \cdot (x y^{2})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{25}{4} \cdot (x y^{2}))$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Schritt 3.5.2

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ um.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{25}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25}{4} \cdot y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $\frac{x \cdot 25}{4}$ und $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 25 y^{2}}{4}]$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{25 \cdot x y^{2}}{4}]$

Schritt 4.1.3

Da $\frac{25}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{25 x y^{2}}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{25}{4} \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{25}{4} (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{25}{4} (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{25}{4} (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{25}{4} (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{25}{4} (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{25}{4} (2 x y y' + y^{2})$

Schritt 4.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{25}{4} (2 x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{25}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\frac{50}{4} (x y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{50}{4}$ .

$\frac{x \cdot 50}{4} (y y') + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.4

Kombiniere $y$ und $\frac{x \cdot 50}{4}$ .

$\frac{y (x \cdot 50)}{4} y' + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.5

Kombiniere $\frac{y (x \cdot 50)}{4}$ und $y'$ .

$\frac{y (x \cdot 50) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.6

Bringe $50$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{y (50 \cdot x) y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.7

Bringe $50$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{50 \cdot y x y'}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $50 y x y'$ heraus.

$\frac{2 (25 y x y')}{4} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (25 y x y')}{2 (2)} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (25 y x y')}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 4.8.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.7

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.7.1

Bewege $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.7.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.1.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25}{4} y^{2}$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{25}{4}$ und $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = \frac{25 y x y'}{2} + \frac{25 y^{2}}{4}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\frac{25 y x y'}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4}$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Subtrahiere $4 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $4 x y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $y y'$ aus $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Faktorisiere $y y'$ aus $4 y y' x^{2}$ heraus.

$y y' (4 x^{2}) + 4 y^{3} y' - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $y y'$ aus $4 y^{3} y'$ heraus.

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) - \frac{25 y x y'}{2} = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $y y'$ aus $- \frac{25 y x y'}{2}$ heraus.

$y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.5.4

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (4 x^{2}) + y y' (4 y^{2})$ heraus.

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.5.5

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + y y' (- \frac{25 x}{2})$ heraus.

$y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ durch $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}) = \frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ durch $y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})$ .

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}{4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}} = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.6.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.2

Stelle die Faktoren von $- 4 x y^{2}$ um.

$y' = \frac{\frac{25 y^{2}}{4} - 4 x^{3} - 4 y^{2} x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.3

Subtrahiere $4 y^{2} x$ von $\frac{25 y^{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.3.1

Stelle $\frac{25 y^{2}}{4}$ und $- 4 x y^{2}$ um.

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.3.2

Um $- 4 x y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} - 4 x y^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.3.3

Kombiniere $- 4 x y^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.4.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 x y^{2} \cdot 4 + 25 y^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.4.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 4 x y^{2} \cdot 4$ heraus.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.4.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $25 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.4.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (- 4 x \cdot 4) + y^{2} \cdot 25$ heraus.

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 4 x \cdot 4 + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.5

Um $- 4 x^{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.6

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.6.1

Kombiniere $- 4 x^{3}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\frac{- 4 x^{3} \cdot 4 + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x + 25)}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} + y^{2} (- 16 x) + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.7.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + y^{2} \cdot 25}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.7.4

Bringe $25$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$y' = \frac{\frac{- 16 x^{3} - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - 16 y^{2} x + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 16 y^{2} x$ heraus.

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x^{3}) - (16 y^{2} x)$ heraus.

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) + 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.4

Faktorisiere $- 1$ aus $25 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x) - (- 25 y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.8.6.1

Schreibe $- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ als $- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})$ um.

$y' = \frac{\frac{- 1 (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.8.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.10

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.10.1

Um $4 x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + 4 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.2

Kombiniere $4 x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{4 x^{2} \cdot 2 - 25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.10.4.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} \cdot 2 - 25 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.10.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) - 25 x}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 25 x$ heraus.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x \cdot 2) + x \cdot - 25$ heraus.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (4 x \cdot 2 - 25)}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.5

Um $4 y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (4 y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.6

Kombiniere $4 y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y (\frac{4 y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x (8 x - 25)}{2})}$

Schritt 6.6.3.10.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{4 y^{2} \cdot 2 + x (8 x - 25)}{2}}$

Schritt 6.6.3.10.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.10.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x - 25)}{2}}$

Schritt 6.6.3.10.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + x (8 x) + x \cdot - 25}{2}}$

Schritt 6.6.3.10.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x + x \cdot - 25}{2}}$

Schritt 6.6.3.10.8.4

Bringe $- 25$ auf die linke Seite von $x$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x \cdot x - 25 \cdot x}{2}}$

Schritt 6.6.3.10.8.5

Vereinfache jeden Term.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{y \frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}}$

Schritt 6.6.3.11

Kombiniere $y$ und $\frac{8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x}{2}$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{1}{\frac{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}{2}}$

Schritt 6.6.3.12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} (1 \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)})$

Schritt 6.6.3.13

Mutltipliziere $\frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ mit $1$ .

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 6.6.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.3.14.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{4}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{4} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 6.6.3.14.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (2)} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 6.6.3.14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 6.6.3.14.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2} \cdot \frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 6.6.3.15

Mutltipliziere $\frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2}$ mit $\frac{1}{y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$ .

$y' = \frac{- (16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2})}{2 (y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x))}$

Schritt 6.6.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{3} + 16 y^{2} x - 25 y^{2}}{2 y (8 y^{2} + 8 x^{2} - 25 x)}$