Analysis Beispiele

$e^{\cos (y)} = x^{9} \arctan (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d c} (e^{\cos (y)}) = \frac{d}{d c} (x^{9} \arctan (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ ist $f' (g (c)) g' (c)$ , mit $f (c) = e^{c}$ und $g (c) = \cos (y)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (y)$ .

$e^{\cos (y)} \frac{d}{d c} [\cos (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ ist $f' (g (c)) g' (c)$ , mit $f (c) = \cos (c)$ und $g (c) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$e^{\cos (y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d c} [y]$ als $y'$ um.

$e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren von $e^{\cos (y)} (- \sin (y) y')$ um.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $x^{9}$ konstant bezüglich $c$ ist, ist die Ableitung von $x^{9} \arctan (y)$ nach $c$ gleich $x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$ .

$x^{9} \frac{d}{d c} [\arctan (y)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ ist $f' (g (c)) g' (c)$ , mit $f (c) = \arctan (c)$ und $g (c) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{9} (\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y])$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{1 + y^{2}}$ und $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} \frac{d}{d c} [y]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d c} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x^{9}}{1 + y^{2}} y'$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{x^{9}}{1 + y^{2}}$ und $y'$ .

$\frac{x^{9} y'}{1 + y^{2}}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2} + 1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' (y^{2} + 1)$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' \cdot 1 = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y' = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Stelle die Faktoren in $- e^{\cos (y)} \sin (y) y' y^{2} - e^{\cos (y)} \sin (y) y'$ um.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = \frac{x^{9} y'}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) = x^{9} y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $x^{9} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- y' y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) - y' e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9} y' = 0$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' e^{\cos (y)} \sin (y)$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) - x^{9} y' = 0$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- x^{9} y'$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- 1 e^{\cos (y)} \sin (y))$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9}) = 0$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y)) + y' (- x^{9})$ heraus.

$y' (- 1 y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Schritt 5.3.3

Schreibe $- 1 y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - 1 e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 1 e^{\cos (y)}$ als $- e^{\cos (y)}$ um.

$y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$

Schritt 5.3.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ durch $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}) = 0$ durch $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$\frac{y' (- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9})}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}} = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Schritt 5.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.3.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{0}{- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- y^{2} e^{\cos (y)} \sin (y) - e^{\cos (y)} \sin (y) - x^{9}$ .

$y' = 0$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d c}$ .

$\frac{d y}{d c} = 0$