Analysis Beispiele

$y = \frac{r}{\sqrt{r^{2} + 8}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r^{2} + 8}$ als ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d r} (y) = \frac{d}{d r} (\frac{r}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $r$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ gleich $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ ist mit $f (r) = r$ und $g (r) = {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 8)}^{1}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ und $g (r) = r^{2} + 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u$ durch $r^{2} + 8$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.10.3

Bringe ${(r^{2} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 8]}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{2} + 8$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8]$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [8])}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.13

Da $8$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.1

Addiere $2 r$ und $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.14.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.14.4

Kombiniere $\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ und $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.15

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.16

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.18

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 r^{2}$ heraus.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.22

Um ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.24

Multipliziere ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.24.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.24.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.24.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.24.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 8)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.25

Vereinfache ${(r^{2} + 8)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 8 - r^{2}}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.26

Subtrahiere $r^{2}$ von $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.27

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.28

Schreibe $\frac{\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 8}$ als ein Produkt um.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 8}$

Schritt 4.29

Mutltipliziere $\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{r^{2} + 8}$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 8)}$

Schritt 4.30

Multipliziere ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $r^{2} + 8$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.30.1

Mutltipliziere ${(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $r^{2} + 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.30.1.1

Potenziere $r^{2} + 8$ mit $1$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 8)}^{1}}$

Schritt 4.30.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 4.30.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 4.30.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 4.30.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d r}$ .

$\frac{d y}{d r} = \frac{8}{{(r^{2} + 8)}^{\frac{3}{2}}}$