Analysis Beispiele

$y = x \cos (3 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \cos (3 x))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = \cos (3 x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = 3 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$x (- \sin (3 x) \frac{d}{d y} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d y} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (- 3 \sin (3 x) x') + \cos (3 x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x (- 3 \sin (3 x) x') + \cos (3 x) x'$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$- 3 x \sin (3 x) x' + \cos (3 x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - 3 x \sin (3 x) x' + \cos (3 x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x \sin (3 x) x' + \cos (3 x) x' = 1$ um.

$- 3 x \sin (3 x) x' + \cos (3 x) x' = 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $- 3 x \sin (3 x) x' + \cos (3 x) x'$ um.

$- 3 x x' \sin (3 x) + x' \cos (3 x) = 1$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $- 3 x x' \sin (3 x) + x' \cos (3 x)$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $- 3 x x' \sin (3 x)$ heraus.

$x' (- 3 x \sin (3 x)) + x' (\cos (3 x)) = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $x' \cos (3 x)$ heraus.

$x' (- 3 x \sin (3 x)) + x' (\cos (3 x)) = 1$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- 3 x \sin (3 x)) + x' (\cos (3 x))$ heraus.

$x' (- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)) = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)) = 1$ durch $- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)) = 1$ durch $- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)$ .

$\frac{x' (- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x))}{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)} = \frac{1}{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x))}{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)} = \frac{1}{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x \sin (3 x)$ heraus.

$x' = \frac{1}{- (3 x \sin (3 x)) + \cos (3 x)}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos (3 x)$ heraus.

$x' = \frac{1}{- (3 x \sin (3 x)) - 1 (- \cos (3 x))}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x \sin (3 x)) - 1 (- \cos (3 x))$ heraus.

$x' = \frac{1}{- (3 x \sin (3 x) - \cos (3 x))}$

Schritt 5.4.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.4.1

Schreibe $- (3 x \sin (3 x) - \cos (3 x))$ als $- 1 (3 x \sin (3 x) - \cos (3 x))$ um.

$x' = \frac{1}{- 1 (3 x \sin (3 x) - \cos (3 x))}$

Schritt 5.4.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{1}{3 x \sin (3 x) - \cos (3 x)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{3 x \sin (3 x) - \cos (3 x)}$