Analysis Beispiele

$y = {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = \frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t^{3} - 4 t$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{(t^{3} - 4 t) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{3} - 4 t$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 \cdot (t^{3} - 4 t) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t]}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 4 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4 t$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t])}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4 \cdot 1)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$3 {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2} \frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.3.7.2

Kombiniere $\frac{2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ und $3$ .

$\frac{(2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)) \cdot 3}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

Schritt 3.3.7.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4)$ .

$\frac{3 \cdot (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} {(\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t})}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{t^{2}}{t^{3} - 4 t}$ an.

$\frac{3 (2 (t^{3} - 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((2 t^{3} + 2 (- 4 t)) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 t^{3} t + 2 (- 4 t) t - t^{2} (3 t^{2}) - t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 t^{3} t) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.6.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 (t^{1} t^{3})) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (2 t^{1 + 3}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{3 (2 t^{4}) + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{4} + 3 (2 (- 4 t) t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t \cdot t) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.6

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t)) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.7

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 (t^{1} t^{1})) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{1 + 1}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 t^{4} + 3 (- 8 t^{2}) + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.10

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- t^{2} (3 t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2} t^{2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.12

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.12.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 (t^{2} t^{2})) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{2 + 2}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.12.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} + 3 (- 3 t^{4}) + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (- t^{2} \cdot - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 3 (4 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.15

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{6 t^{4} - 24 t^{2} - 9 t^{4} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.16

Subtrahiere $9 t^{4}$ von $6 t^{4}$ .

$\frac{- 3 t^{4} - 24 t^{2} + 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.17

Addiere $- 24 t^{2}$ und $12 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{{(t^{2})}^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.18

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.6.18.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{2 \cdot 2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.18.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}} \cdot \frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.19

Mutltipliziere $\frac{- 3 t^{4} - 12 t^{2}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ mit $\frac{t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2}}$ .

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2} {(t^{3} - 4 t)}^{2}}$

Schritt 3.4.6.20

Multipliziere ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ mit ${(t^{3} - 4 t)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.20.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{2 + 2}}$

Schritt 3.4.6.20.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{(- 3 t^{4} - 12 t^{2}) t^{4}}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.7

Stelle die Terme um.

$\frac{t^{4} (- 3 t^{4} - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.8.1

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $- 3 t^{4} - 12 t^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.8.1.1

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $- 3 t^{4}$ heraus.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) - 12 t^{2})}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.1.2

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $- 12 t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.1.3

Faktorisiere $3 t^{2}$ aus $3 t^{2} (- t^{2}) + 3 t^{2} (- 4)$ heraus.

$\frac{t^{4} (3 t^{2} (- t^{2} - 4))}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

$\frac{t^{4} \cdot 3 t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.2

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} t^{4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{2 + 4} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.8.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{3} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.9.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3} - 4 t$ heraus.

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Schritt 3.4.9.1.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} - 4 t)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.1.2

Faktorisiere $t$ aus $- 4 t$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t^{2} + t \cdot - 4)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot t^{2} + t \cdot - 4$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 4))}^{4}}$

Schritt 3.4.9.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Schritt 3.4.9.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = t$ und $b = 2$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2) (t - 2))}^{4}}$

Schritt 3.4.9.4

Wende die Produktregel auf $t (t + 2) (t - 2)$ an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t (t + 2))}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t \cdot t + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.6

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + t \cdot 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t^{2} + 2 \cdot t)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.8

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.9.9.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.9.9.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} (2 t) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 4 \cdot 2 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 {(t^{2})}^{3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.4

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.9.9.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{2 \cdot 3} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{6} t + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.5

Multipliziere $t^{6}$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.9.9.5.1

Bewege $t$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t \cdot t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t^{6}$ .

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Schritt 3.4.9.9.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 (t^{1} t^{6}) + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{1 + 6} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.5.3

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 {(t^{2})}^{2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.9.9.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{2 \cdot 2} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} {(2 t)}^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.7

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 t^{4} (2^{2} t^{2}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{4} t^{2} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.9

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.9.9.9.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} (t^{2} t^{4}) + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{2 + 4} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.9.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 2^{2} t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 6 \cdot 4 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.11

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} {(2 t)}^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.12

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 t^{2} (2^{3} t^{3}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{2} t^{3} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.14

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.9.9.14.1

Bewege $t^{3}$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} (t^{3} t^{2}) + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{3 + 2} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.14.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 2^{3} t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.15

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 4 \cdot 8 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.16

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + {(2 t)}^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.17

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 2^{4} t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.9.18

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}$ heraus.

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Schritt 3.4.9.10.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{8}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + 8 t^{7} + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.2

Faktorisiere $t^{4}$ aus $8 t^{7}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + 24 t^{6} + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.3

Faktorisiere $t^{4}$ aus $24 t^{6}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + 32 t^{5} + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.4

Faktorisiere $t^{4}$ aus $32 t^{5}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + 16 t^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.5

Faktorisiere $t^{4}$ aus $16 t^{4}$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.6

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} t^{4} + t^{4} (8 t^{3})$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.7

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3}) + t^{4} (24 t^{2})$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.8

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2}) + t^{4} (32 t)$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{(t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.10.9

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t) + t^{4} \cdot 16$ heraus.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 8 t^{3} + 24 t^{2} + 32 t + 16) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.11

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} (t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}) {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.9.12

Faktorisiere $t^{4} + 4 \cdot 2 t^{3} + 6 \cdot 2^{2} t^{2} + 4 \cdot 2^{3} t + 2^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$\frac{t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{6}$ und $t^{4}$ .

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Schritt 3.4.10.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{6} \cdot 3 (- t^{2} - 4)$ heraus.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.10.2.1

Faktorisiere $t^{4}$ aus $t^{4} {(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}$ heraus.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

Schritt 3.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{4} (t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4))}{t^{4} ({(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4})}$

Schritt 3.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t^{2} \cdot 3 (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.11

Bringe $3$ auf die linke Seite von $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} (- t^{2} - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{2}$ heraus.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.13

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2}) - 1 (4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{2}) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{3 t^{2} (- (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.15

Schreibe $- (t^{2} + 4)$ als $- 1 (t^{2} + 4)$ um.

$\frac{3 t^{2} (- 1 (t^{2} + 4))}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 3.4.17

Stelle die Faktoren in $- \frac{(3 t^{2}) (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$ um.

$- \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 t^{2} (t^{2} + 4)}{{(t + 2)}^{4} {(t - 2)}^{4}}$