Analysis Beispiele

$y = \frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7 \tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\tan (t)}{5 + 5 \sec (t)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \tan (t)$ und $g (t) = 5 + 5 \sec (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \frac{d}{d t} [\tan (t)] - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 + 5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 5 \sec (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (0 + \frac{d}{d t} [5 \sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [5 \sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) \frac{d}{d t} [5 \sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 \sec (t)$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [\sec (t)]$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - \tan (t) (5 \frac{d}{d t} [\sec (t)])}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) \frac{d}{d t} [\sec (t)]}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.6

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$7 \frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere $7$ und $\frac{(5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$ .

$\frac{7 ((5 + 5 \sec (t)) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t) + 5 \sec (t) \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.3.1

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 (5 \sec^{2} (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ heraus.

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Schritt 3.11.3.1.1

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 (5 \sec^{2} (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.2

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 (5 \sec (t) \sec^{2} (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.3

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 (- 5 \tan^{2} (t) \sec (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.4

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) (5 \sec^{2} (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.1.5

Faktorisiere $7 \sec (t)$ aus $7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t)) + 7 \sec (t) (- 5 \tan^{2} (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \sec^{2} (t) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) - 5 \tan^{2} (t))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.4

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sec^{2} (t)) + 5 (- \tan^{2} (t))$ heraus.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 (\sec^{2} (t) - \tan^{2} (t)))}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5 \cdot 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t) + 5)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 \sec (t) (5 \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.8

Multipliziere $7 \sec (t) (5 \sec (t))$ .

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Schritt 3.11.3.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35 \sec (t) \sec (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.8.2

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.8.3

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{35 (\sec^{1} (t) \sec^{1} (t)) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{35 {\sec (t)}^{1 + 1} + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 7 \sec (t) \cdot 5}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.4

Faktorisiere $35 \sec (t)$ aus $35 \sec^{2} (t) + 35 \sec (t)$ heraus.

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Schritt 3.11.4.1

Faktorisiere $35 \sec (t)$ aus $35 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.4.2

Faktorisiere $35 \sec (t)$ aus $35 \sec (t)$ heraus.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.4.3

Faktorisiere $35 \sec (t)$ aus $35 \sec (t) (\sec (t)) + 35 \sec (t) (1)$ heraus.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.11.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 + 5 \sec (t)$ heraus.

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Schritt 3.11.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 \cdot 1 + 5 \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \cdot 1 + 5 \sec (t)$ heraus.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{{(5 (1 + \sec (t)))}^{2}}$

Schritt 3.11.5.2

Wende die Produktregel auf $5 (1 + \sec (t))$ an.

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5^{2} {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.5.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{35 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $35$ und $25$ .

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Schritt 3.11.6.1

Faktorisiere $5$ aus $35 \sec (t) (\sec (t) + 1)$ heraus.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{25 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25 {(1 + \sec (t))}^{2}$ heraus.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Schritt 3.11.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (7 \sec (t) (\sec (t) + 1))}{5 (5 {(1 + \sec (t))}^{2})}$

Schritt 3.11.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \sec (t) (\sec (t) + 1)}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t) + 1$ und ${(1 + \sec (t))}^{2}$ .

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Schritt 3.11.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{7 \sec (t) (1 + \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.7.2

Faktorisiere $1 + \sec (t)$ aus $7 \sec (t) (1 + \sec (t))$ heraus.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{5 {(1 + \sec (t))}^{2}}$

Schritt 3.11.7.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.7.3.1

Faktorisiere $1 + \sec (t)$ aus $5 {(1 + \sec (t))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Schritt 3.11.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \sec (t)) (7 \sec (t))}{(1 + \sec (t)) (5 (1 + \sec (t)))}$

Schritt 3.11.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7 \sec (t)}{5 (1 + \sec (t))}$