Analysis Beispiele

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 t^{2} - 4 t$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t^{2} - 4 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 3.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{2}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Schritt 3.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4 t$ nach $t$ gleich $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

Schritt 3.3.3

Stelle die Faktoren von $(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ um.

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

Schritt 3.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.2

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1.5.1

Bewege $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

Schritt 3.3.5.1.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

Schritt 3.3.5.2

Subtrahiere $40 t^{2}$ von $- 80 t^{2}$ .

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$