Analysis Beispiele

$y = {(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$

Schritt 1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\cos (\frac{t}{7})})}^{4}$ .

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Schritt 1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{\cos (\frac{t}{7}) \cdot 4}$

Schritt 1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{t}{7})$ .

$y = e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{4 \cos (\frac{t}{7})})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 4 \cos (\frac{t}{7})$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 \cos (\frac{t}{7})$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [4 \cos (\frac{t}{7})]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 \cos (\frac{t}{7})$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$ .

$e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (4 \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})])$

Schritt 4.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$4 \cdot e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{t}{7})]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = \frac{t}{7}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{t}{7}$ .

$4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (- \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Schritt 4.4

Differenziere.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} (\sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{7}])$

Schritt 4.4.2

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{7}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) (\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{7} e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.2

Kombiniere $\frac{- 4}{7}$ und $e^{4 \cos (\frac{t}{7})}$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7} \sin (\frac{t}{7}) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.3

Kombiniere $\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})}}{7}$ und $\sin (\frac{t}{7})$ .

$\frac{- 4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7} \cdot 1$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4 e^{4 \cos (\frac{t}{7})} \sin (\frac{t}{7})}{7}$