Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{t}{t + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{t}{t + 1}}$ als ${(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = \frac{t}{t + 1}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{t + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{t + 1}]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = t + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8

Differenziere.

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Schritt 4.8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(t + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $t + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.8.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{t + 1 - t}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.6.3

Subtrahiere $t$ von $t$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Schritt 4.8.6.5

Mutltipliziere $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.8.6.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t}{t + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} {(\frac{t + 1}{t})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{t + 1}{t}$ an.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.9.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2}}$ mit $\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.2

Bringe ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3

Multipliziere ${(t + 1)}^{2}$ mit ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.3.3.1

Bewege ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(t + 1)}^{2}) t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.3.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.3.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t + 1)}^{\frac{3}{2}}}$