Analysis Beispiele

$y = \cot^{2} (\cos^{4} (t))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cot^{2} (\cos^{4} (t)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cot (\cos^{4} (t))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cot (\cos^{4} (t))$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\cos^{4} (t))]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cot (t)$ und $g (t) = \cos^{4} (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos^{4} (t)$ .

$2 \cot (\cos^{4} (t)) (- \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) (\csc^{2} (\cos^{4} (t)) \frac{d}{d t} [\cos^{4} (t)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = \cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\cos (t)$ .

$- 2 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (4 \cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) (\cos^{3} (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)])$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- 8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) (- \sin (t))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$

Schritt 3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Stelle die Faktoren von $8 \cot (\cos^{4} (t)) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cos^{3} (t) \sin (t)$ um.

$8 \cos^{3} (t) \csc^{2} (\cos^{4} (t)) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.2

Schreibe $\csc (\cos^{4} (t))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$8 \cos^{3} (t) {(\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))})}^{2} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (\cos^{4} (t))}$ an.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.5

Multipliziere $8 \cos^{3} (t) \frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.5.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ und $8$ .

$\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cos^{3} (t) \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.5.2

Kombiniere $\frac{8}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))}$ und $\cos^{3} (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cot (\cos^{4} (t)) \sin (t)$

Schritt 3.8.6

Schreibe $\cot (\cos^{4} (t))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{8 \cos^{3} (t)}{\sin^{2} (\cos^{4} (t))} \cdot \frac{\cos (\cos^{4} (t))}{\sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Schritt 3.8.7

Kombinieren.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Schritt 3.8.8

Multipliziere $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ mit $\sin (\cos^{4} (t))$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.8.1

Mutltipliziere $\sin^{2} (\cos^{4} (t))$ mit $\sin (\cos^{4} (t))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.8.1.1

Potenziere $\sin (\cos^{4} (t))$ mit $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{2} (\cos^{4} (t)) \sin^{1} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Schritt 3.8.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{{\sin (\cos^{4} (t))}^{2 + 1}} \sin (t)$

Schritt 3.8.8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))} \sin (t)$

Schritt 3.8.9

Kombiniere $\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t))}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ und $\sin (t)$ .

$\frac{8 \cos^{3} (t) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Schritt 3.8.10

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Schritt 3.8.11

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{8 (\cos^{3} (t) \cdot 1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t)) \cdot 1}$

Schritt 3.8.12

Separiere Brüche.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} \cdot \frac{\cos^{3} (t)}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$

Schritt 3.8.13

Wandle von $\frac{1}{\sin^{3} (\cos^{4} (t))}$ nach $\csc^{3} (\cos^{4} (t))$ um.

$\frac{8 \cdot (1) \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Schritt 3.8.14

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)}{1} (\cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t)))$

Schritt 3.8.15

Dividiere $8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t)$ durch $1$ .

$8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 8 \cos (\cos^{4} (t)) \sin (t) \cos^{3} (t) \csc^{3} (\cos^{4} (t))$