Analysis Beispiele

$y = arccsc (e^{4 t})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (arccsc (e^{4 t}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = arccsc (t)$ und $g (t) = e^{4 t}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{4 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $arccsc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{4 t}$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{{(e^{4 t})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{4 t})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{4 t \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [e^{4 t}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 4 t$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 t$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [4 t])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 t$ .

$- \frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $e^{4 t}$ und $\frac{1}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}}$ .

$- \frac{e^{4 t}}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{4 t}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{e^{4 t}}{e^{4 t} \sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 3.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [4 t]$

Schritt 3.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} (4 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.4.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}} \cdot 1$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{4}{\sqrt{e^{8 t} - 1}}$