Analysis Beispiele

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + \sqrt{t}})$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 4 \sin (\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + t^{\frac{1}{2}}}$ als ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\sin ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$4 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.10

Bringe ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.11

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.12

Kombiniere $\frac{4}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ und $\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.13

Faktorisiere $2$ aus $4 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.16

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.17

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.19

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.20

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.22

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.22.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.22.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.24

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.25

Mutltipliziere $\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 4.26

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.26.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.26.2

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.27

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.28

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.29

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{\cos ({(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}} {(1 + t^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$