Analysis Beispiele

$y = \ln (t^{10})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\ln (t^{10}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \ln (t)$ und $g (t) = t^{10}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{10}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{10}$ .

$\frac{1}{t^{10}} \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$\frac{1}{t^{10}} (10 t^{9})$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{t^{10}}$ .

$\frac{10}{t^{10}} t^{9}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{10}{t^{10}}$ und $t^{9}$ .

$\frac{10 t^{9}}{t^{10}}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{9}$ und $t^{10}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $t^{9}$ aus $10 t^{9}$ heraus.

$\frac{t^{9} \cdot 10}{t^{10}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.2.1

Faktorisiere $t^{9}$ aus $t^{10}$ heraus.

$\frac{t^{9} \cdot 10}{t^{9} t}$

Schritt 3.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{9} \cdot 10}{t^{9} t}$

Schritt 3.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{t}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{10}{t}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{10}{t}$